Cara Menghitung Determinan Matriks 4×4 & Contoh Soal

Matriks adalah alat matematika yang digunakan untuk merepresentasikan dan memecahkan berbagai masalah dalam berbagai bidang, seperti fisika, ilmu komputer, dan rekayasa. Salah satu operasi penting dalam aljabar matriks adalah menghitung determinan matriks. Dalam artikel ini, kami akan membahas cara menghitung determinan matriks 4×4, konsep kofaktor, matriks adjoin, serta menyajikan contoh soal invers matriks ordo 4×4 beserta jawabannya.

Baca Dulu : Mencari Kofaktor Matriks 3×3

Cara Menghitung Determinan Matriks 4×4

Matriks 4×4 adalah matriks yang memiliki empat baris dan empat kolom. Untuk menghitung determinan matriks 4×4, kita dapat menggunakan rumus ekspansi kofaktor. Proses ini memerlukan pengetahuan tentang kofaktor, matriks adjoin, dan perkalian matriks.

Untuk matriks 4×4:

Determinan  ∣A∣ dapat dihitung menggunakan rumus ekspansi kofaktor sebagai berikut:

Di mana C_ij adalah kofaktor elemen aij.

Kofaktor C_ij adalah hasil kali dari minor elemen aij dengan determinan matriks minor tersebut. Untuk menghitung Cij, kita perlu menghilangkan baris ke –I dan kolom ke –j dari matriks asal.

Matriks Adjoin dan Kofaktor

Matriks adjoin A* adalah matriks yang elemennya adalah kofaktor dari elemen-elemen dalam matriks asal yang sudah di-transpose. Dalam matriks adjoin, baris dan kolom pertama berisi kofaktor dari elemen pertama matriks asal, baris dan kolom kedua berisi kofaktor dari elemen kedua, dan seterusnya.

Kofaktor elemen A_ij dinyatakan sebagai :

Dimana M_ij adalah matriks minor yang dihasilkan dengan menghilangkan baris ke-I dan kolom ke-j dari matriks asal.

Perkalian Matriks 4×4

Perkalian matriks 4×4 melibatkan pengalihan setiap elemen baris matriks pertama dengan setiap elemen kolom matriks kedua dan menjumlahkan hasilnya. Operasi ini memerlukan perhatian terhadap urutan perkalian elemen.

Anda Mungkin Suka :

• • Perkalian yang Hasilnya 40
  • Cara Mencari Kuartil Bawah pada Tabel

Contoh Soal Invers Matriks Ordo 4×4 dan Jawabannya

Mari kita selesaikan contoh soal mengenai menghitung determinan matriks 4×4 dan invers matriks.

Contoh Soal:

Diberikan matriks 4×4 berikut:

1. Hitung determinan Matriks A
2. Hitung matriks adjoin A*
3. Temukan matriks A₁

Jawaban :

a. Untuk menghitung determinan matriks  A, kita menggunakan rumus ekspansi kofaktor seperti yang telah dijelaskan sebelumnya:

Kita perlu menghitung kofaktor C_ij untuk setiap elemen matriks A. Misalnya kita hitung C₁₁ :

Matriks minor M₁₁ adalah :

Untuk menghitung determinan M₁₁, kita dapat menggunakan rumus ekspansi kofaktor yang sama :

Sekarang kita perlu menghitung kofaktor C_ij dalam M₁₁, yang akan memerlukan perhitungan minor matriks 3×3. Mari kita hitung C₁₁ dalam M₁₁ :

Setelah menghitung semua kofaktor C_ij, dalam matriks A dan memasukkannyake dalam rumus determinan, kita dapat menghitung IAI.

Demikian kita mendapatkan nilai determinan IAI.

b. Untuk menghitung matriks adjoin A*, kita perlu menghitung kofaktor dari setiap elemen matriks A dan memasukkannya ke dalam matriks adjoin. Matriks adjoin A*adalah :

Kita perlu menghitung kofaktor untuk setiap elemen matriks A dan memasukkannya ke dalam matriks adjoin A*.

c. Invers matriks A¹dapat ditemukan dengan rumus berikut :

Setelah kita menghitung determinan IAI dan matriks adjoin A*, kita dapat menghitung invers matriks A¹.

Ketahui :

• • Rumus Rentang Antar Kuartil
  • Cara Menghitung Diagram Batang
  • Cara Menghitung Persen Potongan Gaji 

Menghitung determinan matriks 4×4 melibatkan konsep kofaktor, matriks adjoin, dan perkalian matriks. Proses ini memerlukan perhitungan yang hati-hati dan teliti. Dalam contoh soal di atas, kita telah melihat bagaimana menghitung determinan, matriks adjoin, dan invers matriks pada matriks 4×4. Semoga artikel ini  bermanfaat !